20.10. POLYNÔMES ORTHOGONAUX
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8. On considère l'application linéaire cp définie sur ~2n-dX] à valeurs dans ~ 2 n
par
'P : ~2n-1 [X] - - t ~ 2 n
p
1---+
(P(o:1), P'(o:1), ... , P(o:n), P'(o:n)).
Un polynôme appartient au noyau de cp si et seulement si il est multiple
des polynômes (X - o:k) 2 pour tout entier k compris entre 1 et n. Ces polynômes étant premiers entre eux, un polynôme appartient au noyau de cp si
et seulement si, il est multiple de polynôme de degré 2n :
Le seul polynôme de degré inférieur ou égal à (2n-1) vérifiant cette condition
est le polynôme nul. On en déduit que ker cp = 0 et que cp est injective. De
plus,
dim~2n-dX] = dim~ 2 n = 2n.
L'application cp est ainsi bijective. Nous obtenons le résultat désiré.
9. Nous avons,
Vk E {1, · · · , n}, g(o:k) = g'(o:k) =O.
De plus, g(xo) =O. Ainsi, g admet (2n + 1) zéros en comptant les ordres de
mutiplicité. D'après le théorème 8.12, page 105, l'application g< 2 n) s'annule
au moins une fois sur le segment [-1, 1]. Notons Ç l'un de ces points. Or,
Pour x = Ç, nous obtenons
Remarquons que
J(2n) (Ç)
Àxo = (2n)! .
J(2n)(Ç) 2
f(xo) - P(xo) = ( 2 n)! Tn(xo).
10. Soit xo un réel appartenant au segment [-1, 1]
(a) Si xo est une racine de T, nous avons égalité.
(b) Si x0 n'est pas racine de T, d'après la remarque précédente,
11.