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EXPONENTIELLE DANS UNE ALGÈBRE DE BANACH
Exercice 19.3 Soient n un entier strictement positif, Tet P deux matrices de Mn(IK),
P étant inversible. Montrer que
exp(P.T.P- 1 ) = P.exp(T).P- 1 .
Solution. On vérifie à l'aide d'une simple récurrence que
Donc,
~ (P.r.p-1 )k = p (~ Tk) p-1
\:/n E N, ~
k!
. ~ k! .
.
k=O
k=O
D'une part, par définition de l'exponentielle, on a
.
n (P.T.P-1 )k
-1
hm L k' = exp(P.T.P ).
n-++oo
.
k=O
D'autre part, l'application W définie sur Mn(IK) par
w: Mn(IK) --) Mn(IK)
M
1--+
P.M.P- 1
est linéaire. Elle est continue puisque Mn (JK) est un espace vectoriel de dimension
finie. En utilisant cette continuité, on obtient
(
n Tk)
( n Tk)
n.!!~oo P. L kT _p-1 =P. n.!!~oo L kT _p-1 = P.exp(T).P-1.
k=O
k=O
D'où le résultat.
19.6.3 Équation différentielle linéaire du premier ordre
Exercice 19.4 Soit n un entier strictement positif. On considère A un élément de
Mn(IK), t 0 un réel et u0 un vecteur de ocn. Dans l'espace vectoriel des applications
définies sur lR et à valeurs dans ocn' résoudre les équations différentielles suivantes
1.
Y'= A.Y
(On pourra effectuer le changememt de variable Y= exp(tA).Z.)
2.
Solution.
{
Y'= AY,
Y(to) = uo.
(19.16)
(19.17)