19.6. L'EXPONENTIELLE DE MATRICE
Exercice 19.2 Soit a un élément de OC et T la matrice suivante de M3(1K) :
T=(~ ~ ~)·
0 0 a
Calculer exp(T).
Solution. On peut décomposer T sous la forme T = D + N où
Les deux matrices D et N commutent, Ainsi,
exp(T) = exp(D + N) = exp(D). exp(N).
D'après l'exercice précédent
~p(D) ~ Ci . ; ~ ) .
e°'
La matrice N est nilpotente. En effet,
et
Donc
Ainsi,
(
0 0 1 )
N 2 = 0 0 0
0 0 0
~:)
e°' e"' )
(
1
+oo Nk
N2
exp(N) = L kf = I + N + 2 = 0
k=O
Ü
(
e°'
exp(T) = exp(D). exp(N) = ~ e°' e:, .
0 e°'
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