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EXPONENTIELLE DANS UNE ALGÈBRE DE BANACH
(a) La restriction de l'application sinus au segment (0, ~] réalise une bijection croissante de ce segment sur le segment (sin 0, sin ~] = (0, 1]
(b) La restriction de l'application sinus au segment rn, 7r] réalise une bijection décroissante de ce segment sur le segment [sin 7r, sin ~] = [ 0, l] .
19.6 L'exponentielle de matrice
19.6.1 Introduction
Soient n un entier strictement positif et OC représentant le corps des réels ou
celui des complexes. On considère Mn(OC), l'ensemble des matrices carrées d'ordre
n à coefficients dans OC. Nous savons que (Mn(OC), +, x, .) muni de la norme ll·llMn
définie par
llA.xll
llAllMn = sup - 11
- 1
-
1
xEJKn\{O}
X
est une algèbre de Banach. On pourra voir le corollaire 12.10, page 171. L'exponentielle d'une matrice carrée d'ordre n est ainsi définie. Elle vérifie toutes les
propriétés indiquées dans les propositions 19.1 et 19.2.
19.6.2 Calcul d'une exponentielle de matrice
Dans cette section, nous proposons quelques exercices simples permettant de
s'initier au calcul pratique de l'exponentielle de matrice.
Exercice 19.1 Soit a, b etc trois éléments de OC et D la matrice suivante de M 3 (0C) :
Calculer exp(D).
Solution. Nous avons,
VnEN,
n Dk -
wk=O kf
(
~n
ak
I: k! -
0
k=O
0
A la limite, nous obtenons,
0
0
exp(D) = lim t ~; = ( ~ O a e 0 ~ e ~ c ) .
n->+oo k=O
•
)