19.5. LES FONCTIONS COSINUS ET SINUS
Proposition 19.21
cosO = 1,
7r
cos 2 = 0,
COS7r = -1,
sinO=O,
. 7r 1
s1n 2 = ,
sin7r =O.
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Preuve. Les applications cosinus et sinus sont respectivement les parties réelle et
imaginaire de !'applications t 1--+ exp it, il suffit d'établir que
1. expO = 1,
2. expi7r = -1,
3. expi~ = i.
Nous avons
1. expO = 1 d'après la proposition 19.1,
2.
3.
exp 2 (i7r) = exp(2i7r) = 1.
Puisque 7r f/. 27rZ, nous obtenons exp( i7r) = -1.
exp 2 (ii) = exp(i'Tr) = -1.
Ainsi, exp(i~) = ±i. D'après la proposition 19.20, nous avons~ (exp(i~)) =
sin~ >O. D'où, expi~ = i.
Proposition 19.22
1. La restriction de l'application cosinus au segment
bijection décroissante de ce segment sur le segment
[O, 7r] réalise une
[-1, 1].
2. (a) La restriction de l'application sinus au segment [O, ~] réalise une
bijection croissante de ce segment sur le segment [O, 1].
(b) La restriction de l'application sinus au segment [i, 7r] réalise une
bijection décroissante de ce segment sur le segment [O, 1].
Preuve.
1. Nous avons,
Vt E]0,7r[, cos'(t) = -sint La restriction de l'application cosinus au segment [O, 7r] réalise ainsi une bijection décroissante de ce segment sur le segment [cos 7r, cos 0 J = [-1, 1 J.
2. Ayant cos ~ = 0, nous obtenons,
7r
Vt E]O, 2 (, sin't = cost > 0,
7r
Vt E] 2 ,7r[, sin't = cost Ainsi,