Preuve. L'application cp : t 1-+ exp it étant développable en série entière sur IR, les
applications cosinus et sinus le sont aussi, avec :
Vt E IR,
Vt E IR,
.
+oo (in - (-ir)tn
+oo (i{-l)n + i(-1r)t2n+l
smt = L 2· r = L
2· {2
1)1
n=O
i.n.
n=O
't. n + .
+ 00
t2n+l
= ~{-lt (2n+ 1)!'
19.5.2 Étude des fonctions cosinus et sinus
L'application cosinus étant paire et 27r-périodique et l'application sinus étant
impaire et 27r-périodique, on peut restreindre l'étude de ces deux applications au
segment [O, 7r). Au préalable, établissons les deux propriétés suivantes :
1Proposition19.20
Vt E)O, 7r[, sin t > O.
Preuve.
Ainsi,
et
sin t = 0 {:::} ÇS (exp( it)) = 0 {:::} exp( it) = ±1
{:::} exp 2 (it) = 1 {:::} exp(2it) = 1 {:::} t E 7rZ.
sin 0 = sin 7r = 0
Vt E)O, 7r[, sin t #- O.
L'application sinus étant continue, elle garde un signe constant sur l'intervalle
JO, 7r[. Or,
sin' (0) = cos 0 = 1.
On en déduit qu'il existe un réel a strictement positif vérifiant
Vt E)O, a[, sin t > O.
Ainsi,
Vt E JO, 7r[, sin t > O.