19.5. LES FONCTIONS COSINUS ET SINUS
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Proposition 19.15 Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur~ et
Vt E ~' cos' t = - sin t,· sin' t = cos t.
Preuve. D'après la proposition 19.13, l'application t 1--t cp(t) = exp(it) est dérivable
sur~' avec
Vt E ~' cp' ( t) = i exp it = i( cos t + i sin t) = - sin t + i cos t.
Ainsi les applications cosinus et sinus sont dérivables sur ~ et leur dérivée vérifie :
Vt E ~' cos't = ~(iexp(it) = -sint, et sin't = ~(iexp(it) = cost
Proposition 19.16 Les applications cosinus et sinus sont 21r-périodiques.
Preuve. Les applications cosinus et sinus sont respectivement les parties réelle et
imaginaire d'une application 27r périodique. D'où le résultat.
4' t
Corollaire 19.17 L'application cosinus est paire et l'application sinus est impaire.
Preuve. Évident d'après la proposition 19.14
Proposition 19.18 On a,
Preuve.
Vx E ~' cos 2 x + sin 2 x = 1.
V(x, y) E ~ 2 , cos(x +y)= cosxcosy - sinxsiny,
V(x, y) E ~ 2 , sin(x +y)= sinxcosy + cosxsiny.
Vx E ~' cos 2 x + sin 2 x = 1expixl 2 =1.
Pour le reste, les calculs sont évidents à partir de la proposition 19.14.
4' t
Remarque 19.2 À partir de ces formules, on déduit toutes les formules trigonométriques usuelles.
Corollaire 19.19 Les applications cosinus et sinus sont développables en série
entière sur ~' avec,
Vt E ~'
+oc
t2n
cost = ~(-lt ( 2 n)!'
+oc
t2n+l
sint= ~(-lt( 2 n+l)!'