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EXPONENTIELLE DANS UNE ALGÈBRE DE BANACH
(c) nous pouvons considérer un nombre réel non nul to vérifiant
Nous obtenons
Le réel non nul ( 2to) appartient donc à On en déduit qu'il existe un unique réel strictement positif que l'on note n
vérifiant 4.
Vt E IR., expi(t + 2n) = exp(it). exp(2in) = expit
19.5 Les fonctions cosinus et sinus
19.5.1 Définition et propriétés
Définition : On définit les applications cosinus et sinus notées respectivement cos et sin par
cos : IR. - - t IR.
t i--+ lR(exp(it))
sin : IR. - - t IR.
et
t i--+ ~(exp( it))
Proposition 19.14 On a
Vt E IR.,
exp(it) + exp(-it)
cost=
2
,
Vt E IR.,
.
exp(it) - exp(-it)
smt =
2 i
.
Preuve.
exp(it) + exp(it)
exp(it) +exp (il) exp(it) + exp(-it)
cost =
=
=
.
2
2
2
Vt E IR.,
Vt E IR.,
.
exp( it) - ëXP{it) exp( it) - exp (il) exp( it) - exp( -it)
sm t =
2i
=
2i
=
2i
.
,,