19.4. LE NOMBRE 7r
339
On considère désormais z un nombre réel strictement négatif. Il existe un nombre
complexe zo vérifiant
expzo = iFz.
Alors
exp(2zo) = i 2 (Fz) 2 = -(-z) = z.
Ce qui termine la preuve.
19.4 Le nombre 7r
Proposition-définition 19.12 L'ensemble des nombres complexes de module
1 est un sous-groupe du groupe multiplicatif ( C*, x) que l'on notera 1U.
Preuve. Évident.
Proposition 19.13 On considère cp l'application définie sur R par
cp: R ---t 1U
t t----t exp i t
1. cp est un homomorphisme surjectif du groupe (R, +) sur le groupe (U, x),
2. cp est dérivable sur R, de dérivée
cp' : R ---t 1U
t
t----t
i exp i t
3. Il existe un unique réel strictement positif, noté 7r, vérifiant
{ t E R/ exp it = 1} = 271'.Z.
4. L'application cp est 2rr-périodique.
Preuve.
1. Évident d'après la proposition 19.11 et le corollaire 19.10.
2. découle de la proposition 19.2.
3. (a) L'application cp étant un homomorphisme de groupe continu, l'ensemble
cp- 1 ({1}) est un sous-groupe fermé de (R,+).
(b) L'application cp étant non constante, cp- 1 ({1}) n'est pas égal à R
On déduit de (a) et (b) que cp- 1 ({1}) est un sous-groupe de (R,+) de
la forme a.Z (voir exercice 7.5, page 79).