338
EXPONENTIELLE DANS UNE ALGÈBRE DE BANACH
Preuve.
't/z E C, 1 exp zl 2 =exp z.exp z = exp z. exp(z) = exp(z + z)
=exp (2m(z)) = exp 2 (m(z)).
Nous obtenons le résultat en indiquant que les nombres réels 1 exp zl et exp (m(z))
sont positifs.
.ft
1 Corollaire 19.10
't/z E C, 1 exp zl = 1 <=> z E iR
Preuve.
i exp zl = 1 <=>exp (m(z)) = 1 <=> m(z) = 0 <=> z E iR
Proposition 19.11 L'application exponentielle complexe réalise un homomorphisme de groupe surjectif de ( C, +) sur ( C*, x).
1
Preuve. D'après la proposition 19.1, l'exponentielle complexe réalise un homomorphisme de (C, +) vers (C*, x ). Montrons qu'il est surjectif.
Dans un premier temps, considérons z un nombre complexe n'appartenant pas à
~-. On note f et L les applications définies sur le segment [O, 1] par
/: [O, 1] ---+ C*
t
1-----+
t + (1 - t)z,
L: [O, 1] ---+ c
t
1-----+
J/ f'(x)
o J(x) dx.
D'après la proposition 19.2, l'application exp(-L) est dérivable sur le segment
[O, 1], de dérivée -L' exp(-L) = -f exp(-L). Ainsi, l'application f exp(-L) est
dérivable sur le segment [O, 1] avec
Vt E [O, 1], [! exp(-L)]' (t) = J'(t). exp(-L(t)) - f(t) jg} exp(-L(t)) =O.
L'application /.exp(-L) est constante sur le segment [O, l]. Nous obtenons,
z = /(O).exp(-L(O)) = /(1).exp(-L(l)) = exp(-L(l)).
Ainsi, le nombre complexe z appartient à l'image de l'application exponentielle
complexe.