19.3. L'EXPONENTIELLE COMPLEXE
Proposition 19. 7 Pour tout réel a strictement positif, on a
1.
2.
Preuve.
1. Nous avons,
Vt ~ 0,
lim t°'e-t = O.
t-->+oo
+oc tn
tEnt(a)+2
t
r°'et = r°' L - > r°'
> - - - - -
n=o n! -
(Ent(a) + 2)! - (Ent(a) + 2)!
D'où le résultat.
2. Il suffit de passer à l'inverse.
19.3 L'exponentielle complexe
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(C, +, x, .), étant une algèbre de Banach, on peut définir dans C l'application
exponentielle que l'on appelera application exponentielle complexe. Cette application est un prolongement de l'exponentielle réelle. Pour tout nombre complexe z,
expz pourra être notée ez (voir proposition 19.4). Outre les propriétés des propositions 19.1 et 19.2, nous avons les propriétés suivantes :
1 Proposition 19.8
Vz E C, exp(z) = exp(z).
1
Preuve. On a
exp(z) = L ; = lim L ; = lim L ;
oc -=n
( N -=n)
( N n)
n=O n. N -->+oo n=O n.
N -->+oo n=O n.
= lim (t z~) = (f: z~) = exp(z).
N -->+oo n=O n.
n=O n.
Le passage de la première ligne à la deuxième s'effectue en indiquant que l'application qui, à un nombre complexe, associe son conjugué est continue sur C.
Corollaire 19.9
VzEC, lexpzl=exp(~(z)).