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EXPONENTIELLE DANS UNE ALGÈBRE DE BANACH
19.2.2 Application réciproque de l'exponentielle réelle
Définition : L'application exponentielle réelle réalise (proposition
19.3) une bijection strictement croissante de lR sur JR+*. L'application
réciproque est appelée logarithme népérien et notée ln.
Théorème 19.5 On a les propriétés suivantes :
1.
2.
lnx= ['1'dt_
11 t
V(x,y) E (JR+*) 2 , ln(x.y) = ln(x) +ln(y).
Preuve.
1. L'application exponentielle réelle est dérivable sur R L'application dérivée
ne s'annulant pas, l'application logaritme népérien est dérivable sur JR+* avec
1
ln'(x) = - - -
exp'(lnx)
1
exp(lnx)
1
X
Nous avons exp(O) = 1, donc ln 1 =O. Pour conclure, il suffit d'indiquer que
l'application x 1--7 ~ est continue sur JR+*.
2. La fonction exponentielle est un isomorphisme de groupes de (JR, +) sur
(JR+*, x). Donc son application réciproque, la fonction logarithme népérien,
est un isomorphisme de groupes de (JR+*, x) sur (IR,+).
Définition : On définit pour tout réel t strictement positif et tout réel
a, le réel t°' par
Remarque 19.1 Cette définition est cohérente avec la définition d'une puissance
rationnelle.
Proposition 19.6 Pour tout réel strictement positif t fixé, l'application qui,
au réel a, associe t°' est un_ homomorphisme de groupes de (IR,+) vers (JR+*, x) ·
Preuve. Évident d'après la définition.