19.2. L'EXPONENTIELLE RÉELLE
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Ainsi,
lim exp(t) = +oo et
lim exp(t) = lim
~ ) =O.
t-++oo
t-+-oo
t-+-oo exp -t
L'ensemble image est donc JR+*.
(c) Évident d'après la propriété précédente et la propriété 2 de la proposition 19.1.
Définition : On pose
+oo 1
e=expl = Lr·
n=O n.
1 Proposition 19.4
Vr E Q, exp(r) = er.
Notation : Pour tout nombre réel x, on pourra remplacer l'écriture exp(x)
par ex.
1
Preuve. Soit x un nombre réel. On montre par une récurrence évidente, en utilisant le 3 de la proposition 19.1, que
Vn EN, exp(nx) = expn(x).
Et,
VnEN,
1
exp(-nx) =
( ) = exp-n(x).
expn x
Soit r un nombre rationnel. Écrivons r sous la forme :e. où p et q sont deux entiers,
q étant non nul. Alors
q
eP = exp(p) = exp(q.r) = expq(r).
Les nombres eP et expq(r) étant des nombres réels strictement positifs, on obtient