334
EXPONENTIELLE DANS UNE ALGÈBRE DE BANACH
Preuve. Voir les exercices 15.11, page 266 et 17.6, page 297.
Proposition 19.2 Soit f une application de classe C 1 définie sur un intervalle 1 à valeurs dans JE. On suppose que les applications f et sa dérivée f'
commutent. Alors, l'application l}I définie par
111: 1 ~ JE
t f---t exp (f ( t))
est dérivable sur 1 avec,
Vt E J, w'(t) = f'(t) x exp(f(t)) = exp(f(t)) x f'(t).
Preuve. Voir l'exercice 17.6, page 297.
19. 2 L'exponentielle réelle
(IR,+, x, .) étant une algèbre de Banach, on peut définir dans R, l'application
exponentielle que l'on appellera application exponentielle réelle et que l'on notera
exp.
19.2.1 Propriétés
Proposition 19.3
1. Vt E IR, exp(t) >O.
2. L'application exponentielle réelle
(a) est dérivable sur IR avec,
Vt E IR, exp'(t) = exp(t).
(b} réalise une bijection strictement croissante de IR sur JR+*.
(c) réalise un isomorphisme de groupes de (IR,+) sur (JR+*, x)
Preuve.
1. L'application exponentielle réelle étant continue sur IR, exp(IR) est un intervalle réel contenant exp(O) = 1 et ne contenant pas O. Ainsi, exp(IR) C JR+*.
D'où, le résultat.
2. (a) Conséquence immédiate de la proposition 19.2
(b) La dérivée étant strictement positive, l'exponentielle réelle réalise une
bijection strictement croissante de IR sur son ensemble image. Or,
Vt;?: 0,
+oo tn
exp(t) = L I ;?: t.
0 n.
n=