Chapitre 19
Expo ne nt i e 11 e
dans une algèbre de Banach
19.1 Définition
Dans cette section, on considère (JE, +, x, . ) une algèbre de Banach unitaire de
norme notée 11-11 et d'unité notée I. Nous avons vu, dans l'exercice 15.11, page 266,
que pour tout élément A de JE, la série
est convergente.
Définition : On appelle exponentielle et on note exp, l'application
définie sur JE par
exp: JE ----+ JE
A
Proposition 19.1
1. exp(O) = I.
2. Pour tout couple (A, B) d'éléments de JE commutant, on a
exp( A+ B) =exp( A) x exp(B).
3. Pour tout élément A de JE, exp(A) est un élément inversible de JE et
(exp(A))- 1 = exp(-A).
4. l'application exponentielle est continue sur JE.