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SÉRIES ENTIÈRES
Ainsi,
Vx E] - R, R[, xy"(x) + (x - 2)y'(x) - 2y(x)
+oo
+oo
+oo
+oo
= L n(n - l)anXn-l + L nanXn - L 2nanxn-l - L 2anxn
n=2
n=l
n=l
n=O
+oo
+oo
+oo
+oo
= L n(n + l)an+iXn + L nanXn - L 2(n + l)an+iXn - L 2anxn.
~1
~1
n~
n~
Le développement en série entière d'une application étant unique, y est solution
de l'équation différentielle si et seulement si
{
ai+ ao = 0,
Vn;::: 1, (n - 2). [(n + l)an+l +an] =O.
C'est-à-dire si et seulement si,
si et seulement si
Le rayon de convergence d'une série entière de terme général (-l)~+i est égal à
n.
+oo. Ainsi les solutions de l'équation différentielle développables en série entière
sont les applications y vérifiant
C'est-à-dire
Vx E IR,
x2
y(x) = (ao + 6aa)(l - x + 2 ) - 6a3e-x
où a0 et a3 sont deux réels. La famille ( (1; 0), (6; -6)) formant une base de IR 2 ,
les solutions de l'équation différentielle développables en séries entières sont les
applications de la forme
Vx E IR,
x2
y(x) = a(l - x + 2 ) + ,Be-x
où a et fJ sont deux réels.