18.7. APPLICATIONS
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(b) Soit Po un entier compris entre 1 et k.
k
Vr E]O, 1[, (1 - r)f(re-i 6 Po) = ap 0 + (1 - r) "
~~ _ 6 ) ·
L...t 1 - rei p Po
p=i
Pi'PO
Ainsi,
lim (1 - r )J (re-i 6 Po) = ap 0 .
r--+l -
On en déduit que
ap 0 =O.
3. Supposons que la suite (cn)EN soit convergente vers un nombre complexe l.
Alors, la suite (c~)EN définie par
k
Vn EN, c~ = Cn - l = (ai - l) + L apeinBp
p=2
est convergente vers O. D'où,
a2 = · · · = ak =O.
et ai = l. La suite (cn)EN est donc constante et égale à l.
18. 7.3 Équations différentielles et séries entières
La résolution des équations différentielles linéaires est un problème délicat.
Trouver les solutions d'une équation différentielle développables en série entière
permet souvent d'éclaircir la situation.
Exercice 18.10 Trouvez les applications développables en série entière, solutions de
l'équation différentielle :
xy" + (x - 2)y' - 2y = O.
Solution. On considère une application y développable en série entière sur un
intervalle ] - R, R[ avec 0 < R ::::; +oo. Il existe une unique suite réelle (an)nEN
vérifiant
+oo
Vx E] - R, R[, y(x) = L anxn.
n=O
De plus,
+oo
Vx E] -R,R[, y'(x) = L nanxn-i
n=i
et
+oo
Vx E] - R,R[, y"(x) = L n(n - l)anxn- 2 .
n=2