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SÉRIES ENTIÈRES
(a) On considère un réel O. Montrer que
lim (1 - r)f(rei 8 ) =O.
r-+JL(b) En déduire que
\fpE{l, .. ·k}, ap=O.
On peut utiliser le résultat précédent en choisissant pour tout p compris
entre 1 et k, () = -OP.
3. Conclure.
Solution.
1. Soit p un entier compris entre 1 et k. La série de terme général ( einOv zn )nEN
est géométrique de raison ( e iOv z). Elle est donc convergente si 1z1 < 1, avec
+oo
1
~ én8pzn =
. .
L..,,
1 - eiOp z
n=O
On en déduit que si lzl < 1, la série L: CnZn est convergente avec
+oo
k
L n L ap
CnZ =
. .
1 - ei 8 vz
n=O
p=l
2. (a) Soit e un réel strictement positif. Choisissons un entier naturel strictement positif ne vérifiant,
\in 2' : ne, lcnl :::; e.
Pour r appartenant à l'intervalle JO, 1[,
et
Puisque
lim (1 - r) lïl CnrneinOI = 0,
r-+JLn=O
il existe un réel ro E]O; 1[ vérifiant
Donc,
ro < r < 1:::} (1- r) IJ(reeiO)I:::; 2e.
On en déduit que
lim (1 - r)(f(reeiO)) =O.
r-+JL-