18.7. APPLICATIONS
329
On en déduit que
{
f(O) = 1,
Vx E] - a;a[\{O}, f(x) = 1 -ÇF.
En utilisant les résultats de l'exercice 18.3, page 319, nous remarquons que ces
deux applications sont développables en série entière sur l'intervalle ] - i ; H
et égales sur l'intervalle ]-a; a[. Elles sont donc égales sur l'intervalle]- i; i [.
Ainsi,
{
f(O) = 1,
't:/x E] - i; H\{O}, f( x) - 1-v'i=4X
-
2x
·
+oo en
f(x) = L ----1!!.._xn.
n=On+l
6. En utilisant l'unicité du développement en série entière et le résultat de
l'exercice 18.3, nous obtenons,
't:/n ~ 1,
c~n
a n = - - .
n+l
18.7.2 Divergence des suites trigonométriques
Exercice 18.9 On considère k un entier strictement positif, des nombres complexes
ai,a2,··· ,ak et des nombres réels 81,8i,··· ,8k tels que
Pour tout n E N, on pose
o = 81 < 82 < · · · < 8k < 27!".
k
Cn = L apeinlJv.
p=l
Le but de cet exercice est ~e montrer que la suite (cn)nEN est convergente si et
seulement si
a2 = · · · = ak =O.
On remarque que, dans ce cas, elle est constante et égale à a1.
1. Montrer que, pour lzl < 1, la série
est convergente et calculer sa somme que l'on notera f(z).
2. On suppose, dans cette question, que la suite (cn)nEN est convergente vers O.