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SÉRIES ENTIÈRES
3. Soit n un entier strictement positif. Un élément (uk)o99n de An est caractérisé par la suite ( Uk+i - uk)o::;k::;2n-1 · Une telle suite est à valeurs dans
{-1; 1 }. L'ensemble An admet donc au plus 2 2 n éléments. On en déduit que
4.
et que le rayon de convergence de la série Ln>O anxn est supérieur ou égal
' 1
-
a 4·
+oo (n-1
)
f(x) = 1 +]; ?; apa(n-l-p) xn
+oo ( n
)
= 1 + X L L apan-p xn.
n=O p=O
En utilisant la proposition 18.13 sur le produit de Cauchy pour les séries
entières, nous avons
Ainsi,
1 1
Vx E] - 4; 4[, f(x) = 1 + xf 2 (x).
D'où le résultat.
5. Soit x un réel non nul de valeur absolue strictement inférieure à ~- Le réel
f(x) est une solution de l'équation du second degré en y :
Ainsi,
Sachant que
xy 2 -y+1 =O.
f ( ) { 1 - v'f-=4X. i + v'f-=4X}
xE
2x
'
2x
·
{
lim,,-.o f(x) = f(O) = 1,
lim
IHYE4Xl-+oo
x-+O
2x
-
'
Il existe un réel a E ]O; ~ [, vérifiant
Vx E] - a;a[\{O}, {
lf(x)I:::; 2,
11+~1~ 3 ·