18.7. APPLICATIONS
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5. Montrer que
{
f(O) = 1,
Vx E) - ~; H\{O}, f( x) - 1-Vî=4x"
-
2x
·
6. Donner la valeur de an pour tout entier n strictement positif.
Solution.
1. (a) Soit (uk)O$k:52n un élément de A;i et (vk)O$k:52n-2 son image par l'application W. Cette suite est à valeurs entières et vérifie
Vk E {O, · · · , 2n - 2}, Vk = Uk+i - 1 ~ 1 - 1 ~ O.
la suite (vk)O$k:52n-2 est à valeurs dans N.
La suite (uk)O$k:52n étant un élément de An, nous avons nécéssairement
Ainsi,
Vo = V2n-2 = O.
Enfin,
La suite (vk)O$k:52n-2 est un élément de An-1·
(b) Soit (vk)O$k:52n-2 un élément de An-1· Il est facile de vérifier que
l'unique élément de A;i ayant pour image (vk)O$k$2n-2 par l'application West la suite (uk)O$k:52n définie par
{
Uo = U2n = 0,
Vk E {1, .. · , (2n - 1)}, uk = Vk-1 + 1.
L'application West ainsi bijective et a;i = an-1·
2. Pour tout entier p compris entre 1 et n, on note Tp, l'ensemble des éléments
de An retombant en 0 pour la première fois en (2p), c'est-à-dire vérifiant
{
U2p = 0,
Vk E {1, ... '(2p - 1)}, Uk ~ 1.
Le cardinal de Tp est égal à
Les ensembles Tp pour p variant de 1 à n réalisent une partition de An. Ainsi
n
n-1
an= Lap-lan-p = Lapa(n-1-p)·
p=l
p=O