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SÉRIES ENTIÈRES
L'unicité du développement en série entière, nous permet d'écrire,
VnEN,
D'où le résultat.
Exercice 18.8 Pour tout entier strictement positif n, on considère An, l'ensemble des
suites ( uk)o {
uo = U2n = 0,
Vk E {O, .. · , 2n - 1}, luk - Uk+il = 1.
Le but de cet exercice est de calculer le cardinal de An que l'on notera an. Par
convention, on posera ao = l'.
On note A;t, l'ensemble des éléments de An ne s'annulant seulement qu'en 0 et 2n,
c'est-à-dire vérifiant en outre
\:/k E {1, .. · , 2n - 1}, Uk ~ 1.
On note a;t le cardinal de A;t.
1. Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On définit l'application W qui, à tout
élément (uk)O'.'O'.k9n de A;t, associe la suite (vk)O'.'O'.k'.'0'.2n-2 définie par
Vk E {O, · · · , 2n - 2}, Vk = Uk+i - 1.
(a) Vérifier que W est à valeurs dans An-1
(b) Montrer que W réalise une bijection de A;t sur An-l et que a;t = an-l·
2. Montrer que
n-1
Vn ~ 1, an= L apa(n-1-p)·
p=O
3. On considère la série entière
Montrer que son rayon de convergence est supérieur ou égal à t· On définit
alors, sur l'intervalle] - :l, H l'application f par
4. Montrer que l'application f vérifie, sur l'intervalle] - :l, i[, l'équation fonctionnelle suivante
xy 2 -y+1 =O.