18.7. APPLICATIONS
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Solution.
1. Pour n = 0, le résultat est évident. Soit n un entier strictement positif. Pour
tout entier k compris entre 0 et n, on note Ik le nombre de permutations de
{1, · · · , n} ayant exactement k éléments non invariants. Pour construire une
telle permutation, il faut choisir les k éléments non invariants. Nous avons
C~ possibilités. Il faut ensuite construire un dérangement restreint à ces k
éléments. Nous avons dk possibilités. Ainsi,
\/k E {O, · · · ,n}, Ik = C!.dk.
Le nombre de permutations de {1, · · · ,n} étant égal à n!, nous obtenons,
n
n
ni= :L1k = :Lc!.dk.
k=O
k=O
2. Pour tout entier n strictement positif, le nombre de dérangements de Sn est
inférieur au cardinal de celui-ci. Ainsi,
\ln E N, 0 :::; d~ :::; 1.
n.
La suite ( *1-) nEN étant bornée, le rayon de convergence est supérieur ou égal
à 1.
3. Nous savons que
Les séries Ln>o *1-xn et Ln>o :~ ont un rayon de convergence supérieur
ou égal à 1. Pour tout entier naturel n, notons Cn le coefficient d'ordre n du
produit de Cauchy des deux séries entières. Ainsi,
VnEN,
Ainsi, en utilisant la proposition 18.13,
\lx E] -1; 1[,
+oo
+oo
l
xJ ( ) _ " '
n _ " ' n _
e X - L..J CnX - L..J X - 1 - X •
k=O
k=O
D'où
\lx E] -1; 1[,
e-x
f(x) = 1- X.
4. En réutilisant la proposition 18.13, nous obtenons