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SÉRIES ENTIÈRES
est convergente. On en déduit que le rayon de convergence de la série entière
Ep~o ( 2 ~-fi)! x 2 P+l est égal à +oo et que celle-ci est l'unique solution sur R
du système différentiel (18.15). On en déduit que
VxER, ex2
e-t2 dt= L p. x2p+1.
l
x
4P 1
O
p~O (2p + 1)!
18. 7 Applications
18. 7.1 Application à la combinatoire
De nombreux problèmes de combinatoire peuvent se résoudre assez simplement
à l'aide des séries entières. En voici deux exemples.
Exercice 18.7 Soit n un entier strictement positif. On appelle dérangement du groupe
symétrique Sn tout élément a de Sn vérifiant
't:/k E {1, 2,. .. , n}, a(k) =f k.
On désigne par dn le nombre de dérangements de Sn. On pose par convention do = 1.
1. Montrer que, pour tout entier naturel n,
n
LC~dk =ni
k=O
2. On considère la série entière f définie par
+oo d
f(x) = L --Txn.
n=O n.
Montrer que R, le rayon de convergence de cette série entière, est supérieur ou
égal à 1.
3. Donner le développement en série entière de la fonction ex f(x) sur l'intervalle
J - 1; l[. En déduire que
't:/x E] -1, 1[,
e-x
f(x) = - 1 - .
-x
4. En déduire que