18.6. DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE
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Solution.
1. L'application f est dérivable sur ~ avec
\lx E ~. J'(x) = 2xex
2 fox e-t
2 dt+ 1=2xf(x)+1.
Ainsi, f est l'unique solution sur tout intervalle ] - a, a[ où a appartient à
JO, +oo] du système différentiel
{
y'-2xy=l
y(O) =O.
(18.15)
2. On considère S une application développable en série entière sur un intervalle
de la forme] - a, a[ où a appartient à JO, +oo]. Soit (an)nEN l'unique suite
vérifiant
+oo
\lx E] - a, a[, S(x) = L anxn.
n=O
Nous avons
+oo
+oo
\lx E] - a, a[, S'(x) = L nanxn-l = L(n + l)an+iXn.
n=l
n=O
Ainsi,
+oo
+oo
\lx E] - a, a[, S'(x) - 2xS(x) = L(n + l)an+1Xn - 2 L anxn+l
n=O
n=O
+oo
+oo
= L(n + l)an+iXn - 2 L an-1Xn.
n=O
n=l
L'application S est solution du sytème différentiel (18.15) si et seulement si
C'est-à-dire,
{
ao = 0,
ai= 1,
\ln~ 1, (n + l)an+l = 2an-1·
{
\:/p EN,
VpEN,
a2p = 0,
~
a2p+l = (2p+l)!
En utilisant le critère de D'Alembert pour les séries numériques, on vérifie
que pour tout réel x non nul, la série
""' 4Pp! X2p+l
~ (2p+ 1)!
p_