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SÉRIES ENTIÈRES
+oo
= L sin ((n + l)a) .xn.
n=O
2. On considère pour cette question un réel x vérifiant lxl < 1 et un entier k
strictement positif. D'après la question précédente,
Va E [O; n],
.
. k
+oo
smasm a
'"""' .
.
n
1 2
2 = ~sm(n+ l)a.smka.x .
- xcosa + x n=O
Remarquons que cette série est normalement convergente par rapport à la
variable a sur lR. En effet,
Va E JR, lsin(n + l)a.sinka.xnl ~ lxln
et la série l::n>o lxln est convergente. Nous pouvons utiliser le théorème 17.6,
page 290:
-
1
11" . . k
111" +oo
smasm a
.
.
1 2
2 da=
L:sm(n+l)a.smka.xnda
0
-
X cos a + X
0 n=O
= f xn ( r sin(n+ l)a.sinka.da)
n=O
Jo
= f ~n ( r cos ( n + 1 - k) ada - r cos ( n + 1 + k) ada) .
n=O
Jo
Jo
Chacune de ces intégrales est nulle sauf pour n = k - 1. Ainsi,
1
11" sin a sin ka d n k-l
a= -x
.
0 1 - 2x cos a + x 2
2
18.6.3 D.s.e. à l'aide d'équations différentielles
Exercice 18.6 Soit f la fonction définie sur lR par :
1. Montrer que f est solution d'une équation différentielle d'ordre 1.
2. En déduire le développement en série entière de f. Préciser le rayon de convergence.