18.6. DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE
Ainsi, pour tout entier p strictement positif
Vx E) - lai; lai[,
On obtient, d'après le corollaire 18.9,
f(p-l)(x)
fv(x) = (p _ l)! .
Vx E) - lai; lai[, fv(x)
= +oo (n + p- 1)! (~)n+p xn = +oo cp-1 (~)n+p xn.
~ n!(p - 1)! a
~ n+p-l a
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Proposition 18.18 Toute fraction rationnelle à coefficients dans C dont 0
n'est pas un pôle est développable en série entière.
Preuve. Soit f une fraction rationnelle à coefficients dans C dont 0 n'est pas
un pôle. Il suffit de décomposer f en éléments simples et d'utiliser le résultat de
l'exercice précédent.
Exercice 18.5 Soit a un réel strictement compris entre 0 et 7r et f la fonction définie
sur~ par :
VxE~,
sin a
f(x) = 1 - 2xcosa + x2 ·
1. Montrer que f est développable en série entière sur l'intervalle )-1; 1[ et donner
son développement.
2. Calculer pour !xi < 1 et k E N* la valeur de :
Solution.
r sinasinka d
} 0 1- 2xcosa + x2 a.
1. L'application f est une fraction rationnelle ayant deux pôles éa et e-ia.
Ces deux pôles étant de module 1, f est développable en série entière sur
l'intervalle] - 1; 1[. La décomposition en éléments simples de f nous donne,
En utilisant les résultats de l'exercice 18.4, nous obtenons
Vx E] -1; 1[, J(x) = ~ (~ (ei(n+l)a _ e-i(n+l)a)) Xn
2i n=O