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SÉRIES ENTIÈRES
Ainsi,
Et,
1 1
't:/x E] - 4; 4[\{0},
f(x) = ~ (2n - 2)! xn-l = ~ (2n)! xn
L....J n.(n - 1)! 2
L....J (n + 1).n! 2 •
n=l
n=O
Nous remarquons que l'égalité est vérifiée pour x = O. Ainsi,
18.6.2 D.s.e. des fractions rationnelles
Exercice 18.4 Soit a un complexe non nul.
1. Montrer que la fonction de variable réelle f définie par
1
f(x)=a-x
est développable en série entière sur l'intervalle ] - lal, lai[.
2. Soit p un entier strictement positif. Montrer que la fonction fp définie par :
1
fp(x) = (a - x)P
est développable en série entière sur l'intervalle J - lai, lai[ avec
+oc
( l)n+p
't:/x E] - lai, !al[, fp(x) = ~ C~+!-1 a xn.
On pourra pour cela calculer les dérivées successives de la fonction f.
Solution.
1.
't:/x E] - lai; lai[,
1
1
1 +oc X n
+oc 1 n
f(x) - - -
- - " ' (-) - "'-X
- a· 1 - ~ - a L....J a
- L....J an+l ·
a
n=O
n=O
2. l'application f est de classe coc sur l'intervalle ] - lai; lai[ et à l'aide d'une
récurrence simple, on montre que pour tout entier naturel p, on a
't:/x E] - lai; lai[, f (P)( ) -
p!
- If ( )
X - (
) +l - p. p+l X •
a-xP