18.6. DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE
319
7.
8.
' Jo 1 + t Jo n=O
Cette série entière est normalement convergente sur le segment [O; x] si x E
[O; 1[ ou sur le segment [x; O] si x E] - 1; O[. Nous pouvons donc intervertir
somme et intégrale.
+oo
1
x
Vx E] -1; 1[, ln(l + x) = 2:)-1r tndt
n=O
0
+oo
n+l
+oo
n
= 2)-1r-x - = 2:)-1r+i~.
n+l
n
n=O
n=l
Utilisons les mêmes arguments pour l'application suivante :
' 1 x dt lx +oo
arctanx =
- 1 2 =
z)-1rt 2 ndt
0
+ t
0 n=O
+oo
lx +oo 2n+ 1
= :~::)-1)n
t2ndt = 2:)-1r-x-.
n=O
0
n=O
2n + 1
Exercice 18.3 On considère l'application f définie sur l'intervalle] - :Îi :Ï[ par
{
f(O) = 1,
w
]
1 1 [\{O} J(x) = 1-v 2 1x-4x.
vXE -4;4
,
Montrer que l'application f est développable en série entière sur l'intervalle] - :Ï; :Ï[
et donner son développement.
Solution. En utilisant le d.s.e. de l'application y r-t .;r+Y sur ] - 1; 1[, nous
obtenons
v'l - 4x = 1 - 2x - ~ 1. 3 · · · ( 2 n - 3 ) 4nxn
~ 2.4 · · · (2n)
n=2
~ 1.3 · · · (2n - 3)
= 1 - 2x - ~
2nxn
n=2
n!
= 1 _ 2 _ ~ 2n.(2n - 2)! n = 1 _ ~ 2n.(2n - 2)! n
X
~
12
X
~
12
X.
n=2
n.
n=l
n.