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SÉRIES ENTIÈRES
4. Nous avons,
Vx E JR,
ex+ e-x
c h x = - - -
2
Il suffit d'utiliser le développement en série entière de l'application exponentielle.
5. Même remarque que précédemment avec
Vx E JR,
ex - e-x
s h x = - - -
2
6. On considère pour tout réel a, l'application fa définie sur] - l; l[ par
Vx E] - l; 1(, fa(x) = (1 + x)a.
L'application fa est dérivable sur] - l; 1( avec
Vx E] - l; 1(, f~(x) = a(l + x)°'- 1 .
Ainsi fa est l'unique solution sur l'intervalle ]-1; l[ de l'équation différentielle
et de la condition initiale suivante
{
y(O) = 1
(1 + x)y' - ay = 0
(18.14)
Existe-t-il une série entière solution de ce système? Considérons une série
entière de rayon de convergence supérieur ou égal à 1,
+oo
S(x) = :~:::>nxn.
n=O
L'application S est solution du système si et seulement si ao = 1 et
+oo
+oo
+oo
Vx E] - l; l[, L nanXn-l + L nanXn - L aanXn = 0,
n=l
n=l
n=O
c'est-à-dire,
+oo
+oo
+oo
Vx E] - l; l[, L(n + l)an+lXn + L nanxn - L aanxn =O.
n=O
n=l
n=O
S est solution du système si et seulement si
{
ao = 1
ai= a
Vn 2:: 1,
La série entière
( a-n)
an+l = n+l an
~{
a0 = 1
Vn 2:: 1,
_ a(a-l) 00 ·(a-n+l)
an -
n!
~a(a-l) .. ·(a-n+l)
1 + L.J
xn
n=l
n!
admet, d'après le critère de D'Alembert, pour rayon de convergence 1. Elle est
donc l'unique solution du système différentiel (18.14) sur l'intervalle] -1; 1[.