18.6. DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE
317
où x+ = max(x;O). Pour tout réel x, la suite (Rn(x))nEN est convergente
vers O. L'application exponentielle est développable en série entière sur lR
avec pour coefficients,
VnEN,
exp(n)(O)
1
an=
1
= 1·
n.
n.
Nous remarquons que ce résultat est cohérent avec la définition de l'exponentielle définie dans une algèbre de Banach dans le chapitre 19.
2. Nous avons
Vn EN, Vx E IR, cos(n)(x) =cos ( x +ni).
D'après la proposition 18.16,
Vn E N,Vx E IR,
jxjn+l
IRn(x)I ~ (n + l)! ·
Pour tout réel x, la suite (Rn(x))nEN est convergente vers O. L'application
cosinus est développable en série entière sur lR avec pour coefficients,
VnEN,
cosCn)(O)
cos (nÎ)
an=
1
=
1
•
n.
n.
c'est-à-dire, pour tout entier naturel p,
{
i=.!r'..
a2p = (2p)! ,
a2p+l =O.
3. Nous avons
Vn EN, Vx E IR, sin(n)(x) =sin ( x +ni).
D'après la proposition 18.16,
Vx E IR,Vn EN
jxjn+l
IRn(x)I ~ (n + l)! ·
Pour tout réel x, la suite (Rn(x))nEN est convergente vers O. L'application
sinus est développable en série entière sur lR avec pour coefficients,
VnEN,
sin(n)(O)
sin (n:!!:)
an=
=
2 .
n!
n!
c'est-à-dire, pour tout entier naturel p,
{
-
(-l)P
a2p+1 - (2p+l)!'
a2p =O.