7. En particulier, lorsque a prend les valeurs -1, ! , -.}
(a)
\lx E]-1,1[,
+oo
_1_ = 2)-1rxn
l+x n=O
{b}
\lx E] -1, 1[,
~ = l ~ ~(-l)n-11.3 · · · (2n- 3) n
V .L -r X
+ 2x + ~
2.4 ... (2n) X
(c)
\lx E] -1, 1[,
1
=l+~(-ltl.3 .. ·(2n-l)xn
Jl+x
~
2.4···(2n)
8.
\lx E] -1, 1(,
+oo
n
ln(l +x) = L(-l)n+l~
n=l
n
9.
\lx E] -1, 1(,
+ 00
2n+l
arctanx = L ( - l ) n -
2 x
n=O
n + 1
Remarque 18.2
1. Le développement en série entière de l'application arct
gente converge pour x = 1. Ainsi, en utilisant la proposition 18.10, n
obtenons,
+oo (-1r
7r
L 21 = arctanl = - 4 .
n=O n+
2. L'application Arctangente est de classe C 00 sur ~. mais n'est développl
en série entière que sur l'intervalle ] - 1; 1] .
Preuve.
1.
\ln EN, \lx E ~. exp(n)(t) = expt.
D'après la proposition 18.16,
\lx E ~,Vn EN I R (x)I < exp(x+).Jxln+l
n
-
(n + 1)! '