18.6. DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE
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L'application f est donc développable en série entière.
Supposons réciproquement que l'application f soit développable en série entière.
Il existe un réel strictement positif a tel que la série entière En>Ooo i<~,(o) xn soit
convergente vers f sur l'intervalle ] - a; a[. La suite de fonctions (Rn)nEN est
convergente vers l'application nulle sur l'intervalle] - a; a[.
4'
Proposition 18.16 Soit 1 un intervalle de lR. contenant un voisinage de O. On
considère une application f définie sur 1 à valeurs dans OC de classe C 00 et Rn
l'application définie dans la proposition précédente. Alors,
Vx E J, I R (x)I < Mn+1(x)lxn+ll
n
-
(n + 1)! '
où pour tout entier naturel n et tout élément x de 1, Mn+l ( x) est un majorant
de lf(n+l) 1 sur le segment [O, x] si x est positif et [x, O] si x est négatif.
Preuve. Il suffit d'appliquer l'inégalité de Taylor-Lagrange théorème 8.20 page
114 sur le segment (O; lxlJ à l'application f si le réel x est positif et à l'application
g : x r-t f ( -x) si le réel x est négatif.
4'
18.6 Développement en série entière
18.6.1 D.s.e. des fonctions usuelles
Proposition 18.17
1.
+oo n
VxEIR., expx=L:;
n=O n.
2.
+00
2n
Vx E IR., cosx = ~(-l)n (~n)!
3.
4.
+00 2n
Vx E IR., chx = ~ (~n)!
5.
Vx E IR.,
+ 00 x2n+l
shx = ~ (2n+ 1)!