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SÉRIES ENTIÈRES
Proposition 18.14 Si une fonction f est développable en série entière sur un
intervalle ]- a, a[, alors f est CCXl sur cet intervalle, le développement est unique
et
\:/x E] - a, a[,
+CXl J(n)( )
f(x) = I:-,- 0 xn.
n=O n.
Preuve. Soit f une application développable en série entière. Considérons a un
réel strictement positif et une suite (an)neN vérifiant
+CXl
\:/x E] - a, a[, f(x) = L anxn.
n=O
D'après le corollaire 18.9, l'application f est de classe CCXl sur l'intervalle) - a, a[.
D'autre part, d'après ce même corollaire
Ainsi,
\:/k EN,
. J(k) (0)
ak =-k- 1 - .
Remarque 18.1 Soit g l'application définie par g(x) =exp(-~) six =f. 0 et
g(O) = O. On montre que l'application g est de classe CCXl sur ~ et que pour
tout entier positif k, g(k)(O) = O. Or pour tout réel x non nul, g(x) est un réel
strictement positif. On en déduit que g n'est pas développable en série entière au
voisinage de O.
Proposition 18.15 Soit I un intervalle de ~ contenant un voisinage de O.
Une fonction f définie sur I à valeurs dans ][{ de classe CCXl est développable en
série entière sur un voisinage de 0 si et seulement si il existe un réel strictement
positif a tel que la suite de fonctions (Rn)nEN définie par
\:/n E N, \:/x E J,
n J(k)(O)
Rn(x) = f(x)- L:-k 1 -xk,
k=O
est simplement convergente vers l'application nulle sur] - a, a[.
Preuve. Supposons qu'il existe un réel strictement positif a tel que la suite de
fonctions (Rn) soit convergente vers l'application nulle sur l'intervalle J - a, a[.
Alors la série entière Ln;?:OCXl t<~!(O) xn est convergente sur cet intervalle avec
\:/x E) - a, a[,
- +CXJ J(n) (0) n
f(x) - I: - , - x .
n=O n.