18.5. FONCTIONS DÉVELOPPABLES EN SÉRIE ENTIÈRE
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18.4.2 Produit de Cauchy de séries entières
Définition : On appelle produit de Cauchy des deux séries entières
EnEN anxn et EnEN bnxn, la série entière EnEN CnXn avec
n
Vn E N, Cn = L akbn-k·
k=O
Proposition 18.13 Soient En>O anzn et En>o bnzn deux séries entières de
rayons respectifs Ra, Rb et Re le rayon de convergence de En>O CnZn' produit
de Cauchy des deux séries entières. Alors,
-
1. Re~ min{Ra; Rb}
2. Vz E C, lzl < min{Ra,Rb} *
' °' +oo n ('°'+oo n) ('°'+oo b n)
L...n=O CnZ = L...n=O anZ · L...n=O nZ ·
Preuve. Considérons z un nombre complexe vérifiant lzl < min{ Ra, Rb}· Alors
les séries numériques
L anZn et L bnzn
n~O
n~O
sont absolument convergentes. Le produit de Cauchy de ces deux séries numériques
est la série En~O Cn avec
n
n
Vn EN, Cn = Lakzkbn-kZn-k = L(akbn-k)Zn = CnZn.
k=O
k=O
Nous obtenons le résultat désiré en appliquant le théorème 15.19, page 253.
tf,
18.5 Fonctions développables en série entière
Définition : On dit qu'une fonction f est développable en série entière,
au voisinage de 0, s'il existe un réel strictement positif a et une suite
(an)nEN vérifiant
+oo
Vx E] - a, a[, f(x) = L anxn.
n=O