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SÉRIES ENTIÈRES
5. L'application / 5 est définie sur R..
VxE~,
+oo
n-1
+oo n
f~(x) = L ( x - 1)1 = L; = fs(x).
n=l n
. n=O n.
Nous avons / 5 (0) = 1. Ainsi,
Vx E ~, fs(x) = expx.
Ce résultat est cohérent avec la définition de l'exponentielle définie dans une
algèbre de Banach dans le chapitre 19.
18.4 Opérations de séries entières
18.4.1 Somme de séries entières
Il
Définition : On appelle série entière somme de deux séries entières
l:anzn, l:bnzn, la série entière l:(an + bn)zn.
Proposition 18.12 Soient l: anzn et l: bnzn deux séries entières de rayons
respectifs Ra, Rb et Ra+b le rayon de la série somme. Alors,
1. Ra+b ~ min{Ra,Rb},
2. Ra+b = min{Ra,Rb} si Ra=/= Rb,
Preuve.
1. Pour tout nombre complexez vérifiant lzl < min{Ra, Rb}, la série
est absolument convergente. Ainsi,
2. Supposons Ra =/= Rb. Alors pour tout réel r vérifiant min{Ra, Rb} < r <
max{ Ra, Rb}, la série l:n>o(an + bn)zn est divergente comme somme d'une
série convergente et d'une-série divergente. Ainsi, Ra+b ::::; min{ Ra, Rb}· On
en déduit que Ra+b =min{ Ra, Rb}·