18.3. DÉRIVATION D'UNE SÉRIE ENTIÈRE
311
2. L'ensemble de définition de f2 est l'intervalle ] - 1; l[. D'après le théorème
18.8, fi est dérivable sur l'intervalle] - 1; 1[ avec
+oo
Vx E] - 1; 1[, f{ (x) = L nxn- 1 .
n=l
Donc,
+oo
Vx E] - 1; 1[, xf{ (x) = L nxn = f2(x).
n=l
Ainsi,
Vx E] -1; 1[,
X
f2(x) = (1-x)2'
3. L'ensemble de définition de f3 est l'intervalle [-1; 1[.
Vx E] - 1; 1[,
+oo
1
f~(x) = ""'xn-1 = --.
L..t
1-x
n=l
/3(0) = 0 permet d'écrire
Vx E] -1; 1[,
l
x dt
h(x) =
-
= -ln(l -x).
0 1- t
D'après la proposition 18.10, l'application f3 est continue sur le segment
[-1;0]. Ainsi,
Vx E [-1; 1[, f3(x) = - ln(l - x).
On remarque ainsi que
+={-l)n
L::--=-ln2.
n=l
n
4. L'ensemble de définition de /4 est l'intervalle [-1; l].
+oo n-1
+oo n
Vx E] -1; 1[, f~(x) = L ~ _ 1 = L: = f3(x).
n=2
n=l
Or, /4(0) =O. Ainsi,
Vx E] - 1; 1[, f4(x) = 1"' -ln(l - t)dt = (1 - x) ln(l - x) + x.
D'après la proposition 18.10, l'application /4 est continue sur le segment
[-1; 1]. Ainsi,
Vx E [-1; 1[, f4(x) = (1 - x) ln(l - x) + x,
avec f4(l) = 1.