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SÉRIES ENTIÈRES
La série L, anzè)'tn est uniformément de Cauchy sur le segment [0;-1) donc uniformément convergente sur le même segment. Pour la continuité, il suffit d'appliquer le théorème 17.5, page 290.
.ft
Corollaire 18.11 Soient (an) et (bn) deux suites complexes. On pose Cn =
"L;=O apbn-p pour tout n E N et on suppose que les séries de termes généraux
an, bn et Cn convergent. Alors
Preuve. Les rayons de convergence des trois séries entières
LCnXn
n2:'.0
sont supérieurs ou égaux à 1. Ainsi, pour tout réel x E [O; 1[, les séries Ln>o anxn
et Ln;:::o bnxn convergent absolument. D'après le théorème 15.19, page 253,
+oo
+oo
+oo
Vx E [O; 1[, L anxn. L bnxn = L CnXn.
n=O
n=O
n=O
D'après la proposition précédente, les sommes de chacune des séries entières sont
continues sur le segment [O; 1). Donc,
+oo
+oo
+oo
Vx E [O; 1), L anXn. L bnxn = L CnXn.
n=O
n=O
n=O
On obtient, pour x = 1, le résultat désiré.
Exercice 18.2 Donner l'ensemble de définition et expliciter les fonction fk pour k
compris entre 1 et 5 :
+oo
fi(x) = Z:xn
n=O
+oo
h(x) = Z:nxn
n=O
+oo n
f3(x) = z::::
n=l
+oo n
f5(x) = z:::;
0 n.
n=
Solution. En utilisant le critère de D'Alembert, on remarque que les cinq premiers
rayons de convergence sont égaux à 1, et le dernier à ( +oo).
1. L'ensemble de définition de fi est l'intervalle )-1; 1 [. La série est géométrique
de raison x.
\lx E) -1; 1[,
1
fi(x) = - 1 - .
-X