18.3. DÉRIVATION D'UNE SÉRIE ENTIÈRE
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Corollaire 18.9 On considère la série entière de variable réelle
+oo
f(x) = LanXn
n=O
de rayon de convergence R strictement positif. Alors f est de classe C 00 sur
l'intervalle] - R, R[. On a pour tout entier strictement positif k,
+oo
'r/x E] - R, R[, f(k)(x) = L n(n - 1) · · · (n - k + l)anxn-k
n=k
~ (n+k)!
n
= L...;
1
an+kX
n= 0
n.
Ces séries ont pour rayon de convergence R.
Preuve. Il suffit d'effectuer une récurrence évidente en utilisant le théorème
précédent.
'9
Proposition 18.10 On considère une série entière Ln>o anzn et un nombre
complexe z0 • On suppose que la série
-
est convergente. Alors la série entière de variable t, Ln>O anzôtn converge
uniformément sur le segment [O, 1] et la somme est continue sur ce segment.
Preuve. On note, Rn = L:t;.+1 akz~. Pour tout réel t E [O, 1] et tout couple
(p, q) E N 2 vérifiant, 1 :::; p < q, nous avons :
Soit é un réel strictement positif. Considérons un entier strictement positif no
vérifiant
'r/n 2:: no, IRnl :::; é.
Pour tous entiers pet q strictement supérieurs à no vérifiant p < q, on a
'rit E [O; 1], IL:i=vakz~tkj :::; ltPRv-11 + ltqRql + j:L:t;:~(tk+l - tk)Rkl.
:::; é + é + é L::t;;,~ ( tk - tk+l)
:::; 3é.