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SÉRIES ENTIÈRES
Théorème 18.8 On considère la série entière de variable réelle
+oo
f(x) = LanXn
n=O
de rayon de convergence R strictement positif. Alors f est dérivable sur l 'intervalle J - R, R[. De plus, on a,
+oo
+oo
't:/x E] - R, R[, J'(x) = L nanxn-l = L(n + l)an+1xn.
n=l
n=O
Cette série a pour rayon de convergence R.
Preuve. D'après la proposition 18.4, le rayon de convergence de la série
est égal à R. Considérons a un réel positif et strictement inférieur à R. Considérons,
pour tout entier n, l'application fn définie par
fn: ]- R;R[ --+ OC
Alors,
1. La série Ln~O fn(O) est convergente.
2. La série Ln~o f~ est normalement convergente sur le segment [-a, a].
On déduit du théorème 17.7, page 290 que la restriction de l'application f au
segment [-a; a] est dérivable et
+oo
+oo
't:/x E]-a;a[, J'(x) = Lf~(x) = L:nanxn- 1 .
n=O
n=l
Donc f est dérivable sur
Uo avec
+oo
+oo
't:/x E] - R; R[, J'(x) = L nanXn-l = L(n + l)an+iXn.
n=l
n=O
D'où le résultat.