18.3. DÉRIVATION D'UNE SÉRIE ENTIÈRE
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Proposition 18.6 {Règle de Cauchy) On considère Ln~O anxn une série
entière réelle ou complexe. Si
lim vlaJ =À
n-++oo
avec À E [O, +oo], alors le rayon de convergence de la série entière LnEN anxn
est
(en convenant à = +oo et +~ = 0).
Preuve. Soit r un réel positif. Alors,
lim \!'lanrnl = Àr.
n-++oo
D'après la règle de Cauchy (proposition 15.10, page 246), si r < t alors la série
Ln>O anrn est absolument convergente. Si r > t• la série Ln>o anrn n'est pas
abs&ument convergente. On en déduit, à l'aide de la proposition-18.2 que R = t .
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18.3 Dérivation d'une série entière
Proposition 18. 7 Une série entière de variable réelle converge normalement
sur tout segment de la forme [-a, a] où a est un réel strictement positif et
strictement inférieur à R, son rayon de convergence.
Preuve. On considère Ln>o anxn une série entière de rayon de convergence R et
a un réel strictement positif et strictement inférieur à R. Soit r un réel élément de
E vérifiant a < r ::::; R. Alors,
La série numérique de terme général (lanlan) est convergente. En effet, notons M
un réel positif vérifiant
Alors,
On en déduit que la série entière Ln>o anxn converge normalement sur le segment
[-a,a].
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