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La suite (anrn)nEN est une suite bornée. Nous avons
é
r- 2" > R-c >O.
La suite (n°'an(r - ~)n)nEN vérifiant
SÉRIES ENTIÈRES
Vn EN, n°'an(r - ~ )n = (anrn).n°' ( r ~ ~) n
est convergente vers O. Le réel (r - ~) est élément de E'. Ainsi,
Ve E]O, R[, 3r' E E' / r' > R - c.
Le réel Rest le plus petit majorant de E'. D'après la proposition 1.2, page
1, on obtient
R=R'.
3. R = +oo.
Soit A un réel positif. Choisissons un élément r de E vérifiant r ;::: A + 1.
Alors, la suite (n°'an(r - l)n)nEN est convergente vers O. L'élément (r - 1)
supérieur à A appartient à E'. On en déduit que E' est non majoré. Ainsi,
R' = +oo.
Pour terminer, en remarquant que
Vn>O, an=n°'.(::),
on déduit que les trois rayons de convergence sont égaux.
Proposition 18.5 {Règle de D'Alembert) On considère Ln>O anxn une série
entière réelle ou complexe. Si
-
lim 1 an+l 1 = À
n->+oo
an
avec À E [O, +oo], alors le rayon de convergence de la série entière LnEN anxn
est
R= _!
À
(en convenant à = +oo et +!x, = O}.
Preuve. Soit r un réel strictement positif. Alors,
D'après la règle de D'Alembert (proposition 15.9, page 245), sir < t alors la série
Ln>O anrn est absolument convergente. Si r > !, la série Ln>O anrn n'est pas
abs~ument convergente. On en déduit, à l'aide de la proposition-18.2, que R = t·
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