18.2. RÈGLES DE CALCUL DU RAYON DE CONVERGENCE
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Solution.
1. Pour tout entier naturel n, an est un entier compris entre 1 et 9. La suite
(an)nEN est bornée. Ainsi, R 2: 1. D'autre part, le réel e étant non décimal,
pour tout naturel no, il existe un entier n 2: n 0 vérifiant an 2: 1. La suite
(an)nEN ne peut converger vers O. D'où R::::; 1. En conclusion R = 1.
2. La suite (an)nEN n'étant pas bornée, la série En>O an est divergente. Ainsi,
R ::::; 1. Remarquons que
-
't:/n EN, 0 ::::; an ::::; n.
Donc,
't:/r E (0, 1(,
lim anrn =O.
n--++oo
On en déduit que
(0, l[c E.
Ainsi R 2: 1. En conclusion R = 1.
3. La suite (cosn)nEN est bornée. Elle est divergente d'après l'exercice 7.7, page
81 ou l'exercice 7.8, page 82. Nous obtenons R = 1.
18.2 Règles de calcul du rayon de convergence
Proposition 18.4 On considère (an)nEN une suite réelle ou complexe et a un
réel strictement positif. Alors les séries entières
Lanxn,
nEN
LnaanXn
nEN
ont le même rayon de convergence.
Preuve. Soit (an)nEN une suite à valeurs dans OC. On considère E l'ensemble défini
en (18.13), page 303 et E' l'ensemble défini par
E' = {r 2: O/(naanrn)nEN soit une suite bornée}.
On note R = supE et R' = supE'.
Il est évident que l'ensemble E' est inclus dans E. Ainsi, Rest un majorant de E'.
On obtient
R'::::; R.
1. Si R = 0, alors R' = R =O.
2. Supposons 0 < R < +oo.
Soit e un réel strictement positif et inférieur à R. Choisissons un élément r
de E vérifiant
ê
R- 2 < r::::; R.