304
SÉRIES ENTIÈRES
Preuve.
1. Soit x un élément de lK vérifiant lxl < R. Il existe alors un réel r strictement
positif appartenant à E, vérifiant,
lxl < r 5: R.
On note Mun majorant de la suite (lanlrn)nElll· Alors,
La série L:nEN anxn est absolument convergente.
2. Soit x un élément de lK vérifiant lxl > R. Alors le réel Jxl n'appartient pas
à E. La suite (anlxln)ne!ll étant non bornée, la suite (anxn)neN ne peut
converger vers O. La série L:nE!ll anxn est divergente.
Proposition 18.3 Soit L:ne!ll anxn une série entière de variable réelle ou
complexe.
1. Si la suite (an)ne!ll est bornée alors
R?: 1.
2. Si la suite (an)ne!ll ne converge pas vers 0, alors
R 5: 1.
Preuve.
1. Le réel 1 appartient à E, l'ensemble défini en (18.13), page 303. Il est donc
inférieur ou égal à R, sa borne supérieure.
2. La série L:ne!ll anl n est divergente donc non absolument convergente. D'après
la proposition précédente, 1 ?: R.
Exercice 18.1 Donner le rayon de convergence de la série entière L:nE!ll anxn si pour
tout entier naturel n,
1. an est la nième décimale du nombre e.
2. an est le cardinal de l'ensemble des nombres premiers positifs inférieurs ou égaux
à n.
3. an= cosn.