Chapitre 18
Séries entières
Dans ce chapitre, lK représente soit le corps des nombres réels soit le corps des
nombres complexes.
18.1 Séries entières, rayon
et domaine de convergence
Définition : On appelle série entière de variable réelle (resp. complexe),
toute série de fonctions de la forme
LanXn,
nEN
où x est une variable réelle (resp. complexe) et (an) est une suite à
valeurs dans !K.
Proposition-définition 18.1 Soit (an)nEN une suite à valeurs dans !K. On
note E, l'ensemble défini par
E = {r 2 O/(anrn)nEN soit une suite bornée}.
(18.13)
Cet ensemble est non vide et minoré par O. L'élément de [O, +oo]
R=supE
est appelé rayon de convergence de la série entière LnEN anxn.
Proposition 18.2 On considère LnEN anxn une série entière de variable
réelle ou complexe de rayon de convergence R. Soit x un élément de !K.
1. Si lxl < R alors la série LnEN anxn est absolument convergente,
2. si lxl > R alors la série LnEN anxn est divergente.