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SÉRIES DE FONCTIONS
( c) Soit A un réel strictement positif. Montrons que pour tout entier strictement positif, l'application Un est continue sur l'intervalle [A, +oo[.
Pour tout entier n strictement positif, l'application s f-+ ; . est continue
sur R
L'application f définie par
/: [A,+oo[x[n,n+ 1]
(s, t)
est continue sur [A, +oo[ x [n, n + 1]. De plus,
..!..
t•
V(s,t) E [A,+oo[x[n,n+ 1],
1
Ü:::; g(s, t) :::; tA.
Cette dernière application est continue donc intégrable sur le segment
[n, n + l]. On en déduit, d'après le théorème 23.14, page 477 que l'application F, définie par
F : [A, +oo[ -----+ lR
s
J, n+l 4!
n
t•
est continue sur [A, +oo[.
Ainsi, pour tout entier strictement positif n, l'application Un est continue sur l'intervalle [A, +oo[. La série I::n>l un(s) étant uniformément
convergente sur [A, +oo[, elle est continue sur cet intervalle. On en
déduit que la série I::n~l Un est continue sur
u ]A, +oo[= JR+*.
A>O
(d) Sis est un réel strictement supérieur à 1, les séries de terme général ;.
et J;:H !f!- sont convergentes respectivement vers ((s) et f 1 +
00
!f!- = 8 ~ 1 •
Ainsi,
Vs> 1,
+oo
1
L Un(s) = ((s) - 8 _ 1 .
n=l
(e) On a I::!:i un(l) ='Y· L'application I::n~l Un est continue en 1. Ainsi,
+oo
+oo
L Un(s) = L Un(l) + o(l) ='Y+ o(l).
n=l
n=l
En remplaçant, on obtient le développement asymptotique en 1 + :
1
((s)= s-l +'Y+o(l).