17.7. LA FONCTION ZETA DE RIEMANN
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c'est-à-dire
r+oo dt
Vs> 1, ((s) - 1:::; } 1
V:::; ((s).
Un calcul évident nous donne,
f,
+oo dt= _1_.
1
t 8
S - 1
3. En utilisant l'inégalité de gauche et en remarquant que pour tout réel s
strictement supérieur à 1, ((s) est la somme d'une série à termes positifs de
premier terme égal à 1, on obtient
Vs> 1,
D'où,
1
1:::; ((s):::; 1 + - 1 .
slim ((s) = 1.
s-++oo
En utilisant l'inégalité obtenue dans la question précédente :
Vs> 1,
1
1
-
:::; ((s):::; -
+ 1.
s-1
s-1
D'où,
Vs> 1, 1:::; (s - l)((s):::; s.
On en déduit que
1
((s) rv - 1 .
1+ s4. (a) Évident d'après les inégalités établies en (17.12).
(b) Montrons que la suite des sommes partielles vérifie le critère de Cauchy
uniforme sur [A, +oo[. Soient n et p deux entiers strictement positifs
vérifiant n < p.
Vs;::: A, ISp(s) - Sn(s)I = t Uk(s):::; t (:s -(k ~ l)s)
k=n+l
k=n+l
1
1
1
1
= (n + 1)8 - (p + 1)8 :::; (n + 1)8 :::; (n + l)A.
Soit e un réel strictement positif. Soit n0 un entier vérifiant
1
-( n_o_+_l_)_A :::; e ·
Alors,
Vn;::: no, Vp;::: no, Vs E [A, +oo[, ISp(s) - Sn(s)I :::; e.
La suite des sommes partielles (Sn)nEN• converge uniformément sur
[A, +oo[. Il en est de même de la série I:n~l Un.