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SÉRIES DE FONCTIONS
(c) Montrer que la série I:n~l Un est continue sur JR+*.
{d) Vérifier que
Vs> 1,
+oo
1
"°' un(s) = ((s) - - .
~
s-1
n=l
( e) Conclure.
Solution.
1. Nous savons que la fonction (est définie sur l'intervalle ]1, +oo(. On définit
la suite de fonctions Un)n~l par
Vn 2: 1, Vs E]l, +oo(,
1
fn(s) = - .
ns
Pour tout entier n strictement positif, l'application f n est dérivable sur
]1, +oo( avec,
Vs E]l, +oo(, f~ ( s) = - ln n.
ns
Soit a un réel strictement positif.
Vn 2: 1, Vs E]l + 2a, +oo[, lf~(s)I :::; ~~+~a·
Or,
Inn
1
n1+2a = o(nl+a).
Ainsi, la série I:n>l f~ est normalement convergente sur l'intervalle]l +
2a, +oo[. De plus, pour tout entier strictement positif n, l'application f~
est continue sur cet intervalle. On en déduit que l'application (est de classe
C 1 sur
avec
]1, +oo(= Ua>o]l + 2a, +oo[
Vs E]l, +oo[,
+oo
(' ( s) = "°' -ln n .
~ ns
n=l
2. Soient s un réel strictement positif et k un entier strictement positif. L'application s ~ ;. étant décroissante sur le segment [k, k + 1], on a
1
1k+l dt 1
----,---- <
- < -
{k+l}s- k
ts-ks'
(17.12)
Pour tout réel s strictement supérieur à 1, les séries de termes général ~. et
Jkk+l # étant convergentes, nous avons à la limite,