17.7. LA FONCTION ZETA DE RIEMANN
299
est normalement convergente sur [a, b]. La restriction de l'application
W au segment [a, b] est dérivable avec
Vt E [a, bj,
,
+= f'(t)r- 1 (t) += f'(t)r(t)
w (t) = ~ (n - 1)! = ~ n!
= f'(t) x exp(f(t)) = exp(f(t)) x f'(t).
On en déduit que W est dérivable sur I avec
Vt E I, w'(t) = f'(t) x exp(f(t)) = exp(f(t)) x J'(t).
17.7 La fonction zeta de Riemann
Exercice 17.7 Pour touts> 1, on pose
+oo 1
((s) = ' °"" -.
L..t ns
n=l
1. Montrer que (est une fonction de classe C 1 sur ]1, +oo[ et exprimer sa dérivée.
2. En effectuant une comparaison série-intégrale, montrer que
J
+oo dt
1
Vs> 1, ((s) - 1:::; 1
t; = s _ 1 :::; ((s).
3. En déduire que lims-++oo ((s) = 1 et que ((s) :0' . 8 ~ 1 .
4. Le but de cette dernière question est d'obtenir le développement asymptotique
suivant lorsque s tend vers 1 + :
1
((s) = s _ 1 +'Y+ o(l),
où 'Y désigne la constante d'Euler (voir corollaire 15.8 page 245). On définit pour
cela, pour tout entier strictement positif n, l'application Un par
s
..!... -J,n+l !!J.
ns
n
t 8
(a) Montrer que
Vs> O,Vn ~ 1,
1
1
0:::; Un(s):::; ns - (n+ 1)s"
(b) Soit A un réel strictement positif. Montrer que la série Ln>l Un est uniformément convergente sur l'intervalle [A, +oo(.
-