298
SÉRIES DE FONCTIONS
Solution.
1. On considère R un réel strictement positif et B Ri la boule ouverte de centre
0 et de rayon R. D'après la première question de l'exercice précédent, pour
tout entier naturel n, l'application
est continue sur JE. D'autre part,
l i
An li:::;~:::; Rn.
n!
n!
n!
La série L::n>o !7 est normalement convergente sur BR. On en déduit, en
utilisant le théorème 17.5, que l'application exponentielle est continue sur
BR puis sur LJR>O BR= JE.
2. Soit [a, b] un segment inclus dans J. Montrons que la restriction de l'application '1! à [a, b] est dérivable sur ce segment. Pour cela, utilisons le théorème
17. 7. Pour tout entier naturel n, notons 9n, l'application définie par
9n: l ---t lE
t 1--t
f"(t)
n! .
(a) Nous savons que, pour tout réel t élément de [a,b], la série
L9n(t)
n::'.'.0
est convergente.
(b) Les applications f et f' commutant, nous pouvons utiliser le résultat
de la seconde question de l'exercice précédent. Ainsi, pour tout entier
naturel n, l'application 9n est dérivable sur [a, b] avec
Vn 2: 1, Vt E [a, b],
,
J'(t)r- 1 (t)
r - 1 (t)f'(t)
gn(t) = (n - 1)! = (n - 1)! ·
L'application f étant de classe C 1 ' elle est, de même que sa dérivée !''
bornée sur le segment [a, b]. On note
Ainsi,
Mo= sup 11/(t)ll,
tE[a,b]
Vn 2: 1, Vt E [a, b],
On en déduit que la série
Mi = sup llf'(t)ll·
tE[a,b]
I:g~(t)
n::'.'.1